Fadenpendel (mathematisches Pendel):                    erstellt am 19.2.2012, zuletzt geändert am: -

1. keine Reibung (kein Strömungswiderstand und keine Reibung im Faden bzw. im Aufhängepunkt)
2. Faden ist masselos
   

 Herleitung der Periodendauer des Fadenpendels:   

  ... Rückstellkraft

   ... Beschleunigungskraft 

a … Tangentialbeschleunigung

   ... beide Kräfte gleichsetzen

   ... nicht lineare Differentialgleichung

linearisieren durch Entwicklung von sin in eine Taylorreihe 

Als Näherung wird nur der 1.Term verwendet und die nachfolgenden abgeschnitten.

Es ergibt sich daher die Näherung für kleine Winkel:

   ... linearisierte Differentialgleichung

herausheben von 

lösen der quadratischen Gleichung

Euler-Formel

Das Ergebnis wird jetzt mit der Euler-Formel umgeschrieben. Weil die beiden Exponentialfunktionen nur einen Imaginärteil aufweisen ist α=0 und die Exponentialfunktion von 0 ist 1.

vereinfachen

Damit die Gleichung vereinfacht wird, werden die Klammern mit den Konstanten als neue Konstante definiert. Die Konstanten werden jetzt neu definiert wie folgt:

   und 

Anfangsbedingungen: 

Berechnung von φ'(x) aus dem Ergebnis durch differenzieren

     ... Periodendauer

Umstellen der Formel zur Berechnung der Länge bei bekannter Periodendauer

 Wenn der Versuch nachgebaut wird, empfiehlt es sich den Mittelwert der Periodendauer von 10 Schwingungen zu berechnen und den Pendel nicht mehr als 5 Grad auszulenken.

Literatur, weitere Informationen:

Artikel:Fadenpendel aus Wikipedia

Artikel:Taylorreihe aus Wikipedia