Fadenpendel (mathematisches Pendel): erstellt am 19.2.2012, zuletzt geändert am: -
Herleitung der Periodendauer des Fadenpendels:
... Rückstellkraft
... Beschleunigungskraft
a … Tangentialbeschleunigung
... beide Kräfte gleichsetzen
... nicht lineare Differentialgleichung
linearisieren durch Entwicklung von sin in eine Taylorreihe
Als Näherung wird nur der 1.Term verwendet und die nachfolgenden abgeschnitten.
Es ergibt sich daher die Näherung für kleine Winkel:
... linearisierte Differentialgleichung
herausheben von
lösen der quadratischen Gleichung
Euler-Formel
Das Ergebnis wird jetzt mit der Euler-Formel umgeschrieben. Weil die beiden Exponentialfunktionen nur einen Imaginärteil aufweisen ist α=0 und die Exponentialfunktion von 0 ist 1.
vereinfachen
Damit die Gleichung vereinfacht wird, werden die Klammern mit den Konstanten als neue Konstante definiert. Die Konstanten werden jetzt neu definiert wie folgt:
und
Anfangsbedingungen:
Berechnung von φ'(x) aus dem Ergebnis durch differenzieren
... Periodendauer
Umstellen der Formel zur Berechnung der Länge bei bekannter Periodendauer
Wenn der Versuch nachgebaut wird, empfiehlt es sich den Mittelwert der Periodendauer von 10 Schwingungen zu berechnen und den Pendel nicht mehr als 5 Grad auszulenken.
Literatur, weitere Informationen:
Artikel:Fadenpendel aus Wikipedia
Artikel:Taylorreihe aus Wikipedia
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